数是数学研究的对象之一，是代数学的”先行官”，是代数学的”火车头”。负数概念的引入，数系扩充到有理数的范围；实数概念的引入，数系扩充到实数的范围。生活实际的需要，数学本身的发展，需要产生新的数。

数学深刻地影响着哲学。唯物主义哲学家泰勒斯、唯心主义哲学家毕达哥拉斯、创立理念论的柏拉图等等。古希腊的哲学家崇尚数学、重视数学。

“万物皆数”是毕达哥拉斯学派的信念，认为数是万物的本源，”数”与”和谐”是他们的主要哲学思想。柏拉图认为，存在一个物质世界、一个精神世界，一个诸如正义、智慧、善、美的理念世界，只有通过心灵才能达到对这些永恒理念的理解。”几何学使灵魂趋向于真理，进而创造出哲学精神”。

从逻辑学的始祖、写出”三段论”推理方式名著《工具论》的亚里士多德，到倡导归纳法并写出《新工具》的培根，再到唯理论哲学派别的代表人物笛卡尔、莱布尼茨，数学与哲学在思考：怎样认知真理？运用何种 *** ？是演绎法还是归纳法？

19世纪代数学最重大的事件之一是四元数的发现，它是由爱尔兰数学家哈密顿（1805-1865）于1843年在皇家科学院宣讲的，形如a+bi+cj+dk，其中a，b，c，d为实数。

哲学家如此重视数学，而数学又始终影响着哲学。数与形、变与不变、相等与不等、偶然与必然、连续与离散、演绎与归纳、抽象与具体……没有数学与哲学，我们什么也看不懂。

辩证法认为矛盾是事物发展的动力。在数学发展的历史过程中，充满着矛盾。正与负、加与减、有理数与无理数、连续与离散、有限与无限、抽象与具体、直观与逻辑、存在与构造等。

当矛盾激化影响数学的根基时，就会产生数学危机。最早把数的概念提到突出地位的是毕达哥拉斯学派，他们很重视数学，企图用数来解释一切。他们认为宇宙间的各种关系都可以用整数或整数之比来表示，但是当√2被发现后，就导致了之一次数学危机。

通过修正、补充及理论的创新，数学家们消除矛盾、解决危机，给数学带来了新的发展。

错误有时也美得残酷。公元前第五世纪，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派倒霉的希勃索斯（Hippasus）发现了一个惊人事实，一个边长为一的正方形的对角线长度不是有理数。无理数的存在说明了数轴上存在不能用有理数表示的”空隙”，和毕达哥拉斯学派的”万物皆为数（有理数）”的哲理大相径庭。学派领袖惶恐、愤怒以后，可怜的希勃索斯被百般折磨，判了极刑。从此毕达哥拉斯学派把守住这一秘密当成学派的头等大事。

但根号2很快就引起了数学思想的大革命。科学史上把这件事称为”之一次数学危机”，也让数学向前大大发展了一步。历史证明谁都会犯错，连那些大数学家也不例外，然而这个错误带来的结果似乎残酷了些。

公元前5世纪，古希腊人点燃了无理教的火种，照亮了实数的广阔天地，但人类在很长一段时间内不能分享这甘美的”人类智慧之果”

直到19世纪后期，著名数学家魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔的杰出贡献为无理数、实数理论的建立打下了坚实的基础。

随着无理数概念的引入，把数系扩张到了实数的范围。诗人高笑曾写过《√２的自白》。

√2的自白

毕达哥拉斯声名高贵，只承认整数分数的地位。

用不着和权势者争辩，

戴着无理的帽子也全不理会实数没有我就不完备，

我自代表着优秀的一类。

默默地填补着有理数间的空白，

让事实宣布高贵者的愚昧！

例１. √２的有理逼近。

解析：√２的有理逼近的基本 *** 有：夹逼法、方程法等。

估计√2在1和2之间，设√2=1+a。

变式.造一种 *** ，用有理数逼近√2。

√２，π是常见的无理数，但可以用有理数的形式表示如下。

例2.纸是人们学习和工作不可或缺的物品，而纸的尺寸是怎样确定的呢？

印刷厂工人把一张长方形的标准纸（如图①），对折1次，分为两半，每一半都是原来的１/２，称为对开（即2开）；对折2次，得2^2=4张，每一张都是原来的１/４，称为4开；对折3次，得2^３=8张，每一张都是原来的１/８，称为8开……对折5次，得2^５=32张，每一张都是原来的１/３２，称为32开。

一张国际标准尺寸的纸，应符合下列两个条件：

（1）它的面积为1平方米；（2）经过若干次对开，所得各种大小不同的长方形形状都相同（即长和宽之比都相等）。这张国际标准尺寸纸的长和宽到底各是多少呢？（精确到1毫米）。

由此可见，国际标准纸的长为1189毫米，宽为841毫米，面积为1平方米，长与宽之比为x:y=1189：841~7：5。

我国32开用的标准纸长为1168毫米，宽为850毫米，面积为1168×850~0。993（平方米），差不多为1平方米，长与宽之比为1168：850~7：5，这就是说，我国32开用的标准纸与国际标准纸是相符的。

要证一个数是有理数，常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾。

“若言琴上有琴声，

放在匣中何不鸣？

若言声在指头上，

何不于君指上听？”

这是苏轼的《琴诗》，这样的判断与数学中的反证法有相同的意境。

黄金分割就是

，约等于1.618。这个数字的幂次会越来越接近整数，比如它的17，18，19次方：

这其实是原因的，因为黄金分割比属于无理数里比较特别的一种称为PV数，这种数字在”三维世界的黄金比例-塑料常数”中也提到过，请大家自行查阅。

两个实数的比例如果是有理数，我们称这两个实数有理相关。在力学上，震动频率的有理相关会引起共振，而共振会带来系统的不稳定。举个小例子，如果人在木桥上走动的频率与木桥晃动的固有频率有理相关，就会引起危险的共振现象。

再举个例子，太阳系在火星和木星之间有众多的小行星，形成一个小行星带。已发现并确认的就有几十万颗。这些小行星在太空中的分布和它们的轨道稳定性有密切关系。如果小行星绕太阳的运动周期和木星的周期比例是有理数，这就形成共振，它们之间的相互影响就会很大，这些影响往往会导致小行星轨道的不稳定.

记得在大学的高数课堂上，记得任课老师曾郑重的说过，无理数比有理数多。我当时很诧异，老师也仅是点到为止，没有展开来讲。直到接触到《泛函》，才在课本上看到了无理数比有理数多的详细的数学证明，才知道无理数比有理数还不是多一点，而是多得多。

那么无理数为啥比有理数多呢，假如你不知道那个数学证明，你会如何判断谁多谁少呢？我觉得这是一个哲学命题，可以进行适当的哲学思考。世界既是秩序的，也是混沌的，和谐有序的秩序都诞生于混沌之中，而且秩序都是局部的，不是全局的。